ALGEBRA EN LA VIDA COTIDIANA. Segunda parte.

    Son muchos los distintos hábitos que desempeñamos en nuestro día a día, en que los que el algebra esta camuflada. En esta entrada continuamos exponiendo distintos ejemplos:

¿Un chapuzón?

Figura 1: Piscina

    En el verano los termómetros se disparan y buscamos distintas formas de sofocar el calor. Darse un chapuzón en una piscina es un buen remedio, pero... ¿y si está vacía?

    Cuando queremos llenar una piscina y no nos apetece estar pendiente todo el día de si va a rebasar o no; podemos calcular cuanto tarda en llenarse. ¿Cómo? Supongamos que para que el nivel del agua ascienda 4 pulgadas (10 cm), tarda 25 min. Para llenar una piscina se necesita una profundidad de 4 pies (120cm), y digamos que nos faltan 44 pulgadas más. Ecuación lineal:

44pulgadas(112 cm)*(25min/10cm)

    Si operamos con estas condiciones, nos sadrá que son necesarios 275 min (4h y 35 min), para llenar la piscina.

Un césped perfecto.

Figura 2: Césped.

    Mantener el césped de tu casa cuidado es importante, pues dice mucho de quien vive allí. A lo mejor eres un poco despistado y no te has dado cuenta de que ya es primavera y que ya creció demasiado. Además, te encanta hacer barbacoas, pero siempre que tengas un evento, ¿vas a estar liado con la cortadora? Para que el mantenimiento sea más eficaz debes imponerte una rutina, para ello es de vital importancia observar cada cuanto crece y así lograrás hacerte una idea de cada cuantos días debes repasarlo, de esta forma siempre tendrás un jardín presentable.
    Supongamos que creció 5 cm en dos semanas, pero no quieres que crezca más de 6 cm y tampoco quieres que sea menor de 4,4 cm. ¿con qué frecuencia debes cortar el césped?

((14 dias/ 5 cm)*1,9cm)

Debe ser cortado cada 5 y 1/4 días. Aproximadamente cada 5 días.

ALGEBRA EN LA VIDA COTIDIANA. Primera parte.

Figura 1: Vida Cotidiana.

    Una de las realidades de la vida es la forma en que gran parte del mundo funciona mediante reglas matemáticas. Una de sus herramientas más usadas son los sistemas lineales. La vida está repleta de situaciones en las que la solución de un sistema se duplica y en donde la salida se acorta a la mitad  si la entrada hace lo mismo. Esto es en lo que en un sistema de ecuaciones se puede describir como una ecuación lineal.

    Lo creamos o no, en muchos casos de nuestro día a día, se llevan a cabo a base de aplicaciones lineales, muchas operaciones algebraicas.

En la cocina

Figura 2: Pastel

    Todos tenemos una receta estrella. Si, esa que cuando te reúnes con tu familia o amigos, siempre te piden que la hagas. Si alguna vez te has visto en la situación de tener que duplicarla, sin darte cuenta has aplicado una ecuación lineal. Pero... ¿Cómo? Si un pastel, por ejemplo, es igual a 1/2 taza de mantequilla, 2 tazas de harina, 3/4 de levadura; 3 huevos, 1 taza de azúcar,... 

    Entonces dos pasteles son: 1 taza de mantequilla, 4 tazas de harina,1 y 1/2 de levadura, 6 huevos, 2 tazas de azúcar,... Para poder obtener el doble de salida has tenido que duplicar lo de la entrada. 

    Sin darte cuenta, has estado usando una ecuación lineal... ¿Quién dijo que hacer un pastel fuese fácil?

Nieve derritiéndose.

Figura 3: Hielo.

    Imagina que se quiere saber cuanta escorrentía de deshielo se puede esperar este año. La fusión viene de un valle y cada año se mide la capa de nieve y el suministro de agua. Esto da unos 74.000 metros cúbicos. de cada 15 cm de nieve acumulada. Este año los topógrafos miden 15cm y 4 pulgadas (10cm) de nieve. Esto se convierte en una expresión lineal:

(74.000/0.015)*76pulgadas(74.000/0.015)*(193.04)

Pueden esperar unos 940 metros cúbico de deshielo ese año.

La Criptografía

Figura1: Critografía

    Criptografía tradicionalmente se ha definido como la parte de la criptología que se ocupa de las técnicas, bien sea aplicadas al arte o la ciencia, que alteran las representaciones lingüísticas de mensajes, mediante técnicas de cifrado o codificado, para que si lo interceptaban intrusos (lectores no autorizados) no pudieran entenderlos. Por tanto, el único objetivo era conseguir la confidencialidad de los mensajes; para ello se diseñaban sistemas de cifrado y códigos. En esos tiempos la única criptografía que había era la llamada criptografía clásica.

    Debido a la aparición de la Informática y el uso masivo de las comunicaciones digitales, se ha producido un número creciente de problemas de seguridad. Las transacciones que se realizan a través de la red pueden ser interceptadas. La seguridad de esta información debe garantizarse.  Los criptógrafos investigan, desarrollan y aprovechan técnicas matemáticas que les sirven como herramientas para conseguir sus objetivos. Los grandes avances que se han producido en el mundo de la criptografía han sido posibles gracias a los grandes avances que se han producido en el campo de las matemáticas y la informática.

Figura 2: Otro ejemplo.

    Hay muchas formas interesantes de cifrar o encriptar mensajes, y en su mayor parte usan la teoría de números o el álgebra lineal. Describiremos en esta entrada un método que es eficaz, en especial cuando se usan matrices de gran tamaño. Lo primero es elegir una matriz M invertible(M=(-3 4; -1 2)), que sólo la conocen quienes transmiten el mensaje y quienes lo reciben.Vamos a suponer que el mensaje es: ATTACK NOW. Reemplazamos cada letra por el número que corresponde a su posición en el abecedario (A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z) y representamos un espacio por 0. El mensaje anterior se convierte en la sucesión: 1,20,20,1,3,11,0,14,15,23 que agrupamos en una sucesión de vectores columna. Luego la multiplicamos por M a la izquierda, con lo que el mensaje cifrado que se enviará será: 77, 39, 56, 18, 35, 19, 56, 28, 47, 31.Para poder desencriptar el mensaje quien lo recibe debe calcular M 1, y multiplicando por los números recibidos agrupados en una sucesión de vectores columna igual que antes, obtenemos el mensaje original.

 

    Actualmente se encarga del estudio de los algoritmos, protocolos y sistemas que se utilizan para dotar de seguridad a las comunicaciones, a la información y a las entidades que se comunican. El objetivo de la criptografía es diseñar, implementar, implantar, y hacer uso de sistemas criptográficos para dotar de alguna forma de seguridad. Por tanto el tipo de propiedades de las que se ocupa la criptografía son por ejemplo:

Figura: Hash Critográfico

-Confidencialidad. Garantiza que la información está accesible únicamente a personal autorizado. Para conseguirlo utiliza códigos y técnicas de cifrado.

-Integridad. Es decir garantiza la corrección de la información. Para conseguirlo puede usar por ejemplo funciones hash criptográficas MDC, protocolos de compromiso de bit, o protocolos de notarización electrónica.

-Vinculación. Permite vincular un documento o transacción a una persona o un sistema de gestión criptográfico automatizado. Cuando se trata de una persona, se trata de asegurar su conformidad respecto a esta vinculación (content commitment) de forma que pueda entenderse que la vinculación gestionada incluye el entendimiento de sus implicaciones por la persona. 

-Autenticación. Es decir proporciona mecanismos que permiten verificar la identidad del comunicador. Para conseguirlo puede usar por ejemplo función hash criptográfica MAC o protocolo de conocimiento cero.

-Soluciones a problemas de la falta de simultaneidad en la telefirma digital de contratos. Para conseguirlo puede usar por ejemplo protocolos de transferencia inconsciente.

    

Los Cuadrados Mágicos. Un poco de Historia...

Figura 1: Tortuga

 Dentro de diversas culturas, podemos destacar el gran interés aportado por la civilización china hacía las matemáticas. Los chinos han sido siempre muy aficionados a los diseños armónicos, aritméticos o geométricos. Por eso dudamos que os sorprendáis si comentamos que el primer ejemplo registrado de cuadrado mágico se hallase allí, aunque cabe destacar que su origen es incierto.

    Según una antigua leyenda local allá por la época en que gobernaba el emperador Yii, (conocido por ser un gran ingeniero hidráulico). El emperador vio emerger una tortuga de las aguas del río Lo, en cuyo caparazón aparecía un grabado con símbolos numéricos. Desde un primer momento él le había dado una interpretación mística y sagrada a este suceso; pues para ellos la tortuga simboliza longevidad y protección. Era un buen presagio para el país. 

   A partir de entonces, comenzaron a construir palacios según una distribución en forma de cuadricula, tratando siempre de imitar el caparazón del animal, incluso se dice que durante los veinticuatro ciclos lunares del año chino, tuvieron un numero de días exactos.

    La cuadrícula Lo Shu, cuentan que posee un poder mágico que solo se puede explicar a través de una fórmula matemática de los 3x3 cuadrados de nueve celdas. Si se suman las celdas horizontales obtendremos un valor igual a la de las verticales y a la de ambas diagonales.

Figura 2: Melancolía

    En cuanto la vimos no pudimos evitar darnos cuenta de la similitud que tiene con las matrices. En este caso la matriz M de la foto es un cuadrado mágico de constante k=15, para comprobarlo basta con hacer lo explicado con anterioridad.

    Otro cuadrado muy conocido es el que aparece en el lado superior derecho de la obra "Melancolía", del artista renacentista Alberto Durero (1471-1528).

Curiosidad: ¿Qué ocurre cuando rotamos la cuadricula Lo Shu?

    Si rotamos M noventa grados en sentido horario, antihorario o ciento ochenta grados; obtenemos otro cuadrado mágico, que coincide con la matriz transpuesta de M.

Si quereis saber más, hemos encontrado un página muy interesante. Pincha aquí: 

Lo Shu